где
r и φ - полярные координаты, θ - параметр, меняющийся на отрезке [0; 2π]; П. и. выражает значения функции
u (
r, φ), гармонической внутри круга радиуса
R, через её значения
f (θ), заданные на границе этого круга. Функция
u (
r, φ) является решением задачи Дирихле для круга (см.
Гармонические функции). П. и. был впервые рассмотрен С. Д.
Пуассоном (1823). Строгая теория П. и. была создана Г.
Шварцем (1869).
встречается в теории вероятностей и некоторых задачах математической физики. С. Д.
Пуассон предложил весьма простой приём для вычисления этого интеграла. Впервые же этот
интеграл был вычислен (1729) Л.
Эйлером, поэтому называется также интегралом Эйлера -
Пуассона.